Multivariat bayesiansk regression

Bayesiansk modellering med RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Modellera volym

$Y_i$ = spårvolym (# användare) dag $i$

¹ Foto med tillstånd från commons.wikimedia.org

Modellera volym per veckodag

$Y_i$ = spårvolym (# användare) dag $i$
$X_i$ = 1 för vardagar, 0 för helger

$\;$

Modellera volym per temperatur

$Y_i$ = spårvolym (# användare) dag $i$
$Z_i$ = högsta temperatur dag $i$ (i $^{\circ}$F)

$\;$

Modellera volym per temperatur & veckodag

$Y_i$ = spårvolym (# användare) dag $i$
$X_i$ = 1 för vardagar, 0 för helger
$Z_i$ = högsta temperatur dag $i$ (i $^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Helger: $m_i = a + c Z_i$

Vardagar: $m_i = (a + b) + c Z_i$

Modellera volym per temperatur & veckodag

$Y_i$ = spårvolym (# användare) dag $i$
$X_i$ = 1 för vardagar, 0 för helger
$Z_i$ = högsta temperatur dag $i$ (i $^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Helger: $m_i = a + c Z_i$

Vardagar: $m_i = (a + b) + c Z_i$

Modellera volym per temperatur & veckodag

$m_i = a + bX_i + cZ_i$

Helger: $m_i = a + c Z_i$

Vardagar: $m_i = (a + b) + c Z_i$

$a$ = helgens y-skärningspunkt
$a+b$ = vardagens y-skärn.
$b$ = skillnad mellan vardag- och helg-y-skärningspunkt

$c$ = gemensam lutning
$s$ = residualstandardavvikelse

Priorer för $a$ och $b$

Vi är osäkra på y-skärningspunkten för sambandet mellan temperatur och helgvolym.

Vi är osäkra på hur typisk volym skiljer sig mellan vardagar och helger med liknande temperatur.

Priorer för $c$ och $s$

Oavsett veckodag är vi osäkra på sambandet mellan spårvolym och temperatur.

Den typiska avvikelsen från trenden är lika sannolik att vara var som helst mellan 0 och 200 användare.

Bayesiansk modell av volym per veckodagsstatus

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

DEFINIERA den bayesianska modellen i RJAGS

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_2 <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
    Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
    m[i] <- a + b[X[i]] + c * Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c, s
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))
  c ~ dnorm(0, 20^(-2))
  s ~ dunif(0, 200)
}"

Nu kör vi en övning!

Bayesiansk modellering med RJAGS