Пуассонівська регресія

Баєсівське моделювання з RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Структура нормальної правдоподібності

$Y$ = обсяг (кількість користувачів) за день
$Y \sim N(m, s^2)$

Технічно...

Нормальна модель припускає, що $Y$ має неперервну шкалу і може бути від'ємним.
Але $Y$ — це дискретний підрахунок і не може бути від'ємним.

Модель Пуассона

$Y$ = обсяг (кількість користувачів) за день
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ — це кількість незалежних подій у фіксованому інтервалі (0, 1, 2, ...).
Параметр інтенсивності $l$ — типова кількість подій за інтервал часу
($l > 0$).

Модель Пуассона

$Y$ = обсяг (кількість користувачів) за день
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ — це кількість незалежних подій у фіксованому інтервалі (0, 1, 2, ...).
Параметр інтенсивності $l$ — типова кількість подій за інтервал часу
($l > 0$).

Модель Пуассона

$Y$ = обсяг (кількість користувачів) за день
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ — це кількість незалежних подій у фіксованому інтервалі (0, 1, 2, ...).
Параметр інтенсивності $l$ — типова кількість подій за інтервал часу
($l > 0$).

Модель Пуассона

$Y$ = обсяг (кількість користувачів) за день
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ — це кількість незалежних подій у фіксованому інтервалі (0, 1, 2, ...).
Параметр інтенсивності $l$ — типова кількість подій за інтервал часу
($l > 0$).

Пуассонівська регресія

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$, де $l_i > 0$

Пуассонівська регресія

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$, де $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Пуассонівська регресія

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$, де $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Проблема:
Прямий зв'язок $l_i$ з лінійною моделлю припускає, що $l_i$ може бути від'ємним.

Пуассонівська регресія

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$, де $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Розв'язання:
Використайте логарифмічну зв'язувальну функцію, щоб пов'язати $l_i$ з лінійною моделлю. Тоді:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Пуассонівська регресія

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$, де $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Розв'язання:
Використайте логарифмічну зв'язувальну функцію, щоб пов'язати $l_i$ з лінійною моделлю. Тоді:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Пуассонівська регресія в RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c




}"

Пуассонівська регресія в RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Пуассонівська регресія в RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])

  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Пуассонівська регресія в RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])
   log(l[i]) <- a + b[X[i]] + c*Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Застереження

$Y \sim \text{Pois}(l_i)$

Припущення: для днів із подібною температурою та типом дня тижня дисперсія $Y_i$ дорівнює середньому $Y_i$.
У даних можлива надмірна дисперсія: дисперсія більша за середнє.
Хоч модель не ідеальна, з неї можна почати.

Давайте потренуємось!

Баєсівське моделювання з RJAGS