Багатовимірна баєсівська регресія

Баєсівське моделювання з RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Моделювання обсягу

$Y_i$ = обсяг на стежці (кількість користувачів) у день $i$

¹ Photo courtesy commons.wikimedia.org

Моделювання обсягу за буднями

$Y_i$ = обсяг на стежці (кількість користувачів) у день $i$
$X_i$ = 1 для буднів, 0 для вихідних

$\;$

Моделювання обсягу за температурою

$Y_i$ = обсяг на стежці (кількість користувачів) у день $i$
$Z_i$ = максимальна температура в день $i$ (у $^{\circ}$F)

$\;$

Моделювання обсягу за температурою й буднями

$Y_i$ = обсяг на стежці (кількість користувачів) у день $i$
$X_i$ = 1 для буднів, 0 для вихідних
$Z_i$ = максимальна температура в день $i$ (у $^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Вихідні: $m_i = a + c Z_i$

Будні: $m_i = (a + b) + c Z_i$

Моделювання обсягу за температурою й буднями

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Вихідні: $m_i = a + c Z_i$

Будні: $m_i = (a + b) + c Z_i$

Моделювання обсягу за температурою й буднями

$m_i = a + bX_i + cZ_i$

Вихідні: $m_i = a + c Z_i$

Будні: $m_i = (a + b) + c Z_i$

$a$ = перетин осі y для вихідних
$a+b$ = перетин y для буднів
$b$ = різниця між перетинами y буднів і вихідних

$c$ = спільний нахил
$s$ = стандартне відхилення залишків

Пріори для $a$ та $b$

Нам бракує визначеності щодо перетину y для зв'язку між температурою та обсягом у вихідні.

Нам бракує визначеності щодо того, як типовий обсяг відрізняється в будні проти вихідних за подібної температури.

Пріори для $c$ та $s$

І в будні, і у вихідні нам бракує визначеності щодо зв'язку між обсягом на стежці та температурою.

Типове відхилення від тренду з однаковою ймовірністю може бути від 0 до 200 користувачів.

Баєсівська модель обсягу за статусом буднього дня

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

ВИЗНАЧЕННЯ баєсівської моделі в RJAGS

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_2 <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
    Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
    m[i] <- a + b[X[i]] + c * Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c, s
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))
  c ~ dnorm(0, 20^(-2))
  s ~ dunif(0, 200)
}"

Давайте потренуємось!

Баєсівське моделювання з RJAGS