理解 Big O 表示法

Data Structures and Algorithms in Python

Miriam Antona

Software Engineer

Big O 表示法

衡量演算法的「最差情況複雜度」
- 「時間複雜度」：完成所需時間
- 「空間複雜度」：額外記憶體
不用秒數／位元組
- 受硬體影響會有差異
「數學表示」：$O(1)$、$O(n)$、$O(n^2)$…

Big O 表示法

Big O 表示法中不同演算法的圖示。

$O(1)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink']

def constant(colors):
    print(colors[2])

constant(colors)

blue

$O(1)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink', 'black', 'white', 'purple', 'red']

def constant(colors):
    print(colors[2])  # O(1)

constant(colors)

blue

$O(n)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink']

def linear(colors):
  for color in colors:
    print(color)    

linear(colors)

green

yellow

blue

pink

$O(n)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink'] # n=4

def linear(colors):
  for color in colors:
    print(color)    # O(4)

linear(colors)

n=4：4 次操作

$O(n)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink', 'black', 'white', 'purple'] # n=7

def linear(colors):
  for color in colors:
    print(color)    # O(7)

linear(colors)

n=4：4 次操作
n=7：7 次操作
n=100：100 次操作
…
「$O(n)$ 複雜度」

$O(n^2)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue']

def quadratic(colors):  
  for first in colors:
      for second in colors:
          print(first, second)

quadratic(colors)

n=3：(3 x 3) 共 9 次操作
n=100：(100 x 100) 共 10,000 次操作
平方型模式
「$O(n^2)$ 複雜度」

green green
green yellow
green blue
yellow green
yellow yellow
yellow blue
blue green
blue yellow
blue blue

$O(n^3)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue']

def cubic(colors):  
  for color1 in colors:
      for color2 in colors:
          for color3 in colors:
              print(color1, color2, color3)

cubic(colors)

n=3：(3 x 3 x 3) 共 27 次操作
n=10：(10 x 10 x 10) 共 1,000 次操作
立方型模式
「$O(n^3)$ 複雜度」

計算 Big O 表示法

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink', 'black', 'white', 'purple']
other_colors = ['orange', 'brown']

def complex_algorithm(colors):
  color_count = 0

  for color in colors:
      print(color)
      color_count += 1

  for other_color in other_colors:
      print(other_color)
      color_count += 1

  print(color_count)

complex_algorithm(colors)

計算 Big O 表示法

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink', 'black', 'white', 'purple']  # O(1)
other_colors = ['orange', 'brown']  # O(1)


def complex_algorithm(colors):
  color_count = 0          # O(1)


  for color in colors:
    print(color)           # O(n)
    color_count += 1       # O(n)


  for other_color in other_colors:
    print(other_color)     # O(m)
    color_count += 1       # O(m)


  print(color_count)       # O(1)


complex_algorithm(colors)  # O(4

計算 Big O 表示法

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink', 'black', 'white', 'purple']  # O(1)
other_colors = ['orange', 'brown']  # O(1)

def complex_algorithm(colors):
  color_count = 0          # O(1)

  for color in colors:
    print(color)           # O(n)
    color_count += 1       # O(n)

  for other_color in other_colors:
    print(other_color)     # O(m)
    color_count += 1       # O(m)

  print(color_count)       # O(1)

complex_algorithm(colors)  # O(4 + 2n

計算 Big O 表示法

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink', 'black', 'white', 'purple']  # O(1)
other_colors = ['orange', 'brown']  # O(1)

def complex_algorithm(colors):
  color_count = 0          # O(1)

  for color in colors:
    print(color)           # O(n)
    color_count += 1       # O(n)

  for other_color in other_colors:
    print(other_color)     # O(m)
    color_count += 1       # O(m)

  print(color_count)       # O(1)

complex_algorithm(colors)  # O(4 + 2n + 2m)

化簡 Big O 表示法

移除常數
- $O(4 + 2n + 2m)$ -> $O(n + m)$
不同輸入用不同變數
- $O(n + m)$
移除次要項
- $O(n + n^2)$

化簡 Big O 表示法

移除常數
- $O(4 + 2n + 2m)$ -> $O(n + m)$
不同輸入用不同變數
- $O(n + m)$
移除次要項
- $O(n + n^2)$ -> $O(n^2)$

一起來練習吧！

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