配對 t 檢定

Python 中的假設檢定

James Chapman

Curriculum Manager, DataCamp

美國共和黨總統資料集

         state       county  repub_percent_08  repub_percent_12
0      Alabama         Hale         38.957877         37.139882
1     Arkansas       Nevada         56.726272         58.983452
2   California         Lake         38.896719         39.331367
3   California      Ventura         42.923190         45.250693
..         ...          ...               ...               ...
96   Wisconsin    La Crosse         37.490904         40.577038
97   Wisconsin    Lafayette         38.104967         41.675050
98     Wyoming       Weston         76.684241         83.983328
99      Alaska  District 34         77.063259         40.789626

[100 rows x 4 columns]

100 列；每列代表一次總統選舉中的郡級得票。

¹ https://dataverse.harvard.edu/dataset.xhtml?persistentId=doi:10.7910/DVN/VOQCHQ

假設

問題：2008 年共和黨候選人的得票百分比是否低於 2012 年？

$H_{0}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} = 0$

$H_{A}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} < 0$

設定顯著水準 $\alpha = 0.05$。

資料為「配對」 → 每個得票百分比都對應同一個郡
- 想在模型中捕捉投票型態

由兩個樣本變一個

sample_data = repub_votes_potus_08_12
sample_data['diff'] = sample_data['repub_percent_08'] - sample_data['repub_percent_12']

import matplotlib.pyplot as plt
sample_data['diff'].hist(bins=20)

diff 變數的直方圖——多數值介於 -10 到 10，且有些離群值。

計算差值的樣本統計量

xbar_diff = sample_data['diff'].mean()

-2.877109041242944

修訂後的假設

舊假設：

$H_{0}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} = 0$

$H_{A}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} < 0$

新假設：

$H_{0}$: $\mu_{\text{diff}} = 0$

$H_{A}$: $ \mu_{\text{diff}} < 0$

$t = \dfrac{\bar{x}_{\text{diff}} - \mu_{\text{diff}}}{\sqrt{\dfrac{s_{diff}^2}{n_{\text{diff}}}}}$

$df = n_{diff} - 1$

計算 p 值

n_diff = len(sample_data)

s_diff = sample_data['diff'].std()

t_stat = (xbar_diff-0) / np.sqrt(s_diff**2/n_diff)

-5.601043121928489

degrees_of_freedom = n_diff - 1

$t = \dfrac{\bar{x}_{\text{diff}} - \mu_{\text{diff}}}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{diff}}^2}{n_{\text{diff}}}}}$

$df = n_{\text{diff}} - 1$

from scipy.stats import t
p_value = t.cdf(t_stat, df=n_diff-1)

9.572537285272411e-08

使用 ttest() 檢驗兩個平均數差異

import pingouin

pingouin.ttest(x=sample_data['diff'],

               y=0,

               alternative="less")

               T  dof alternative         p-val          CI95%   cohen-d  \
T-test -5.601043   99        less  9.572537e-08  [-inf, -2.02]  0.560104   

             BF10  power  
T-test  1.323e+05    1.0

¹ 關於 pingouin.ttest() 的回傳內容，詳見 pingouin 的 API 文件：https://pingouin-stats.org/generated/pingouin.ttest.html#pingouin.ttest。

ttest() 與 paired=True

pingouin.ttest(x=sample_data['repub_percent_08'],
               y=sample_data['repub_percent_12'],
               paired=True,
               alternative="less")

               T  dof alternative         p-val          CI95%   cohen-d  \
T-test -5.601043   99        less  9.572537e-08  [-inf, -2.02]  0.217364   

             BF10     power  
T-test  1.323e+05  0.696338

未配對 ttest()

pingouin.ttest(x=sample_data['repub_percent_08'],
               y=sample_data['repub_percent_12'],
               paired=False, # The default
               alternative="less")

               T  dof alternative     p-val         CI95%   cohen-d   BF10  \
T-test -1.536997  198        less  0.062945  [-inf, 0.22]  0.217364  0.927   

           power  
T-test  0.454972

對配對資料做未配對 t 檢定，會提高偽陰性錯誤的機率

一起來練習吧！

Python 中的假設檢定