簡單線性迴歸

Python 中的時間序列分析

Rob Reider

Adjunct Professor, NYU-Courant Consultant, Quantopian

什麼是迴歸？

簡單線性迴歸：

$\ \ \ \ y_t = \alpha + \beta x_t + \epsilon_t$

什麼是迴歸？

Ordinary Least Squares (OLS)

用於執行迴歸的 Python 套件

在 statsmodels：

import statsmodels.api as sm
sm.OLS(y, x).fit()

在 numpy：
```
np.polyfit(x, y, deg=1)
```
在 pandas：
```
pd.ols(y, x)
```

在 scipy：

from scipy import stats
stats.linregress(x, y)

警告：x 與 y 的順序在不同套件中不一致

範例：小型股報酬對大型股的迴歸

匯入 statsmodels 模組
```
import statsmodels.api as sm
```

和之前一樣，計算兩個序列的報酬率變動百分比

df['SPX_Ret'] = df['SPX_Prices'].pct_change()
df['R2000_Ret'] = df['R2000_Prices'].pct_change()

在 DataFrame 中加入常數項作為截距
```
df = sm.add_constant(df)
```

迴歸範例（續）

注意第一列報酬為 NaN

            SPX_Price  R2000_Price   SPX_Ret  R2000_Ret
Date                                                     
2012-11-01  1427.589966   827.849976       NaN        NaN
2012-11-02  1414.199951   814.369995 -0.009379  -0.016283

刪除含 NaN 的列
```
  df = df.dropna()
```

執行迴歸

  results = sm.OLS(df['R2000_Ret'],df[['const','SPX_Ret']]).fit()
  print(results.summary())

迴歸範例（續）

迴歸輸出

截距在 results.params[0]
斜率在 results.params[1]

迴歸範例（續）

迴歸輸出

R-squared 與相關係數的關係

$ [\text{corr} (x,y)]^2 = R^2$（或 R-squared）
$ \text{sign(corr)} = \text{sign(regression slope)}$
在上一個範例：
- R-squared = 0.753
- 斜率為正
- correlation = $ + \sqrt{0.753} = 0.868$

一起來練習吧！

Python 中的時間序列分析