單一母體比例檢定

R 中的假設檢定

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

第 1 章重點回顧

關於未知母體比例的主張可行嗎？
使用重抽樣（bootstrap）分配計算樣本統計量的標準誤。
用此計算標準化檢定統計量，…
接著用它計算 p 值，…
再用它判斷哪個假設較合理。
這裡我們將不靠重抽樣分配來計算檢定統計量。

比例的標準化檢定統計量

$p$: 母體比例（未知的母體參數）

$\hat{p}$: 樣本比例（樣本統計量）

$p_{0}$: 假設的母體比例

$$ z = \frac{\hat{p} - \text{mean}(\hat{p})}{\text{standard error}(\hat{p})} = \frac{\hat{p} - p}{\text{standard error}(\hat{p})} $$

在 $H_{0}$ 為真時，$p = p_{0}$，因此

$$ z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\text{standard error}(\hat{p})} $$

更容易的標準誤計算

$SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) \approx \sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}$

$SE_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}$

假設 $H_{0}$ 為真，

$z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}}$

這只用到樣本資訊（$\hat{p}$ 與 $n$）以及假設的參數（$p_{0}$）。

為何用 z 不用 t？

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

$s$ 由 $\bar{x}$ 計算而得，所以 $\bar{x}$ 同時用來估計母體平均與母體標準差。
這會增加對母體參數估計的不確定性。
t 分配的尾部比常態分配更厚。
因此更保守。
$\hat{p}$ 只出現在分子，所以用 z 分數即可。

Stack Overflow 年齡分類

$H_{0}$：未滿 30 歲的 SO 使用者比例等於 0.5。

$H_{A}$：未滿 30 歲的 SO 使用者比例不等於 0.5。

alpha <- 0.01

stack_overflow %>% 
  count(age_cat)

# A tibble: 2 x 2
  age_cat         n
  <chr>       <int>
1 At least 30  1050
2 Under 30     1216

z 所需變數

p_hat <- stack_overflow %>%
  summarize(prop_under_30 = mean(age_cat == "Under 30")) %>%
  pull(prop_under_30)

0.5366

p_0 <- 0.50

n <- nrow(stack_overflow)

計算 z 分數

$z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}}$

numerator <- p_hat - p_0
denominator <- sqrt(p_0 * (1 - p_0) / n)
z_score <- numerator / denominator

3.487

計算 p 值

常態分配的 CDF。小於 -2 的部分為紅色，大於 2 的部分為綠色。左尾（「小於」）

p_value <- pnorm(z_score)

右尾（「大於」）

p_value <- pnorm(z_score, lower.tail = FALSE)

雙尾（「不等於」）

p_value <- pnorm(z_score) + 
  pnorm(z_score, lower.tail = FALSE)

p_value <- 2 * pnorm(z_score)

0.000244

p_value <= alpha

TRUE

一起來練習吧！

R 中的假設檢定