極值理論

Python 量化風險管理

Jamsheed Shorish

Computational Economist

極端值

投資組合損失：極端值

極端值：分配尾端
- 尾端損失：超過某一數值的損失
- 建模尾端損失 ⇒ 風險管理更佳

極值理論

極值理論：極端值的統計分配
區塊極大值

從 0 到 T 的時間區間線段

極值理論

極值理論：極端值的統計分配
區塊極大值：
- 將期間切成多個次期間

從 0 到 T 分割為次區間的線段

極值理論

極值理論：極端值的統計分配
區塊極大值：
- 將期間切成多個次期間
- 為每個次期間形成一個「區塊」

顯示區塊的時間區間線段

極值理論

極值理論：極端值的統計分配
區塊極大值：
- 將期間切成多個次期間
- 由每個次期間形成「區塊」
- 區塊極大值的集合 = 資料集
閾值超越法（POT）：
- 找出所有超過給定水準的損失
- 此類損失的集合 = 資料集

含區塊與各區塊最大損失的區間

廣義極值分配

範例：2007–2009 的區塊極大值
- 以所需期間（例如每週）重新取樣損失
```
maxima = losses.resample("W").max()
```
廣義極值分配（GEV）
- 資料「極大值」的分配
- 例：用 scipy.stats.genextreme 參數估計
```
from scipy.stats import genextreme
params = genextreme.fit(maxima)
```

從 GEV 分配計算 VaR 與 CVaR

從 GEV 分配求 99% VaR
- 用 .ppf() 百分點函式求 99% VaR
- 需使用已配適 GEV 的 params
- 找出一週期間在 99% 信心水準下的最大損失
從 GEV 分配求 99% CVaR
- CVaR 是在 VaR 為最小損失條件下的損失條件期望
- 用 .expect() 方法求期望值

VaR_99 = genextreme.ppf(0.99, *params)

CVar_99 = ( 1 / (1 - 0.99) ) * genextreme.expect(lambda x: x, *params, lb = VaR_99)

備抵損失

風險管理：備抵損失
- 監管要求（銀行、保險）
- 必須有準備金以覆蓋損失
  - 指定期間（例如 1 週）
  - 指定信心水準（例如 99%）
來自 GEV 分配的 VaR：
- 估計最大損失
  - 給定期間
  - 給定信心水準

備抵損失

範例：初始投資組合價值 = $1,000,000
一週準備金要求（99% 信心水準）
- 由 GEV 分配的 $\text{VaR}_{99}$：一週內 99% 信心水準下的最大損失
準備金要求：投資組合價值 × $\text{VaR}_{99}$
- 假設 $\text{VaR}_{99}$ = 0.10，亦即最大損失 10%
- 準備金要求 = $100,000
投資組合價值_變動_ ⇒ 準備金要求亦_變動_
法規會規定更新準備金要求的頻率

一起來練習吧！

Python 量化風險管理

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