核密度估計

Python 量化風險管理

Jamsheed Shorish

Computational Economist

重看長條圖

風險因子分佈
- 假設（如 Normal、T 等）
- 配適（母數估計、蒙地卡羅模擬）
- 忽略（歷史模擬）
實際資料：長條圖
如何用機率分佈表示長條圖？
- 用濾波將資料「平滑化」
- 非母數估計

損失的長條圖

資料平滑化

濾波器：抹平長條圖的「凸起」

長條圖座標軸

資料平滑化

濾波器：抹平長條圖的「凸起」
觀測值會隨時間累積

觀測值逐步累積的示意圖

資料平滑化

濾波器：抹平長條圖的「凸起」
觀測值會隨時間累積

觀測值逐步累積的示意圖

資料平滑化

濾波器：抹平長條圖的「凸起」
觀測值會隨時間累積

觀測值逐步累積的示意圖

資料平滑化

濾波器：抹平長條圖的「凸起」
觀測值會隨時間累積
選取特定的投資組合損失

損失與以箭頭標示的特定損失

資料平滑化

濾波器：抹平長條圖的「凸起」
觀測值會隨時間累積
選取特定的投資組合損失
- 檢視鄰近的損失

覆蓋在觀測值上的核視窗

資料平滑化

濾波器：抹平長條圖的「凸起」
觀測值會隨時間累積
選取特定的投資組合損失
- 檢視鄰近的損失
- 形成損失的「加權平均」
核函數：濾波器的選擇；決定「視窗」

由核得到的加權平均示意

資料平滑化

濾波器：抹平長條圖的「凸起」
觀測值會隨時間累積
選取特定的投資組合損失
- 檢視鄰近的損失
- 形成損失的「加權平均」
核函數：濾波器的選擇；決定「視窗」
- 將視窗移到另一個損失值

第二個核位置的示意圖

資料平滑化

濾波器：抹平長條圖的「凸起」
觀測值會隨時間累積
選取特定的投資組合損失
- 檢視鄰近的損失
- 形成損失的「加權平均」
核函數：濾波器的選擇；決定「視窗」
- 將視窗移到另一個損失值
核密度估計：機率密度

核密度估計的示意圖

Gaussian 核

連續核
依與中心的距離為所有觀測值加權
一般而言：可用的核很多
- 用於時間序列分析
- 用於訊號處理

Gaussian 核的圖示

Python 中的 KDE

from scipy.stats import gaussian_kde

kde = guassian_kde(losses)

loss_range = np.linspace(np.min(losses),
                np.max(losses),
                1000)

plt.plot(loss_range, kde.pdf(loss_range))

視覺化：由 KDE 配適得到的機率密度函數

Gaussian KDE 估計圖

用 KDE 尋找 VaR

VaR：使用 gaussian_kde 的 .resample() 方法
對產生的樣本找分位數
CVaR：仍為期望值，不過
- gaussian_kde 沒有 .expect() 方法 ⇒ 需自行積分
- 本練習提供特製的 .expect() 方法

sample = kde.resample(size = 1000)

VaR_99 = np.quantile(sample, 0.99)

print("VaR_99 from KDE: ", VaR_99)

VaR_99 from KDE: 0.08796423698448601

一起來練習吧！

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