結構性斷點

Python 量化風險管理

Jamsheed Shorish

Computational Economist

風險與分配

風險管理工具箱
- 風險緩解：MPT
- 風險量測：VaR、CVaR
風險：離散、波動性
- 以變異數（標準差）定義風險
風險與將風險因子視為隨機變數之分配的關聯

定態性（Stationarity）

假設：分配隨時間不變
分配不變＝定態
全球金融危機期間的效率前緣
- 非定態
估計技術需要定態
- 歷史法：從過去資料推估未知的定態分配
- 參數法：假設定態的分配族
- 蒙地卡羅：為隨機抽樣假設定態分配

結構性斷點

非定態 ⇒ 分配可能會隨時間改變
假設在特定時間點發生改變
- 將資料切成次期
- 各次期內，假設定態
結構性斷點：發生改變的時間點
- 平均數和／或波動性「趨勢」的改變

範例：中國人口成長

檢視期間 1950 - 2019
趨勢大致為_線性_…

中國 1950-2019 人口隨時間變化圖

範例：中國人口成長

檢視期間 1950 - 2019
趨勢大致為_線性_…
…但約自 1990 年開始似乎放緩
1990 年附近可能有結構性斷點。
意味著淨人口（出生－死亡）的分配已_改變_
可能原因：政府政策、生活水準等

中國 1950-2019 人口趨勢圖（含趨勢箭頭）

Chow 檢定

前述範例：結構性斷點的視覺證據
量化：統計量度
Chow 檢定：
- 在_線性_模型下檢定是否存在結構性斷點
- 虛無假設：無斷點
- 需進行三個 OLS 迴歸
  - 全期的迴歸
  - 斷點_前_與_後_各一個迴歸
- 收集殘差平方和
- 檢定統計量服從 F 分配

在 Python 中做 Chow 檢定

假設：中國人口在 1990 年有結構性斷點
假設線性「因子模型」： $$\log(\text{Population}_t) = \alpha + \beta * \text{Year}_t + u_t$$
以 statsmodels 的 OLS 物件對 1950 - 2019 全期做 OLS 迴歸
- 取出殘差平方和 res.ssr

import statsmodels.api as sm
res = sm.OLS(log_pop, year).fit()

print('SSR 1950-2019: ', res.ssr)

SSR 1950-2019: 0.29240576138055463

在 Python 中做 Chow 檢定

將 1950 - 2019 分成 1950 - 1989 與 1990 - 2019 次期
對各次期進行 OLS 迴歸
- 取出 res_before.ssr 與 res_after.ssr

pop_before = log_pop.loc['1950':'1989']; year_before = year.loc['1950':'1989'];
pop_after  = log_pop.loc['1990':'2019']; year_after =  year.loc['1990':'2019'];

res_before = sm.OLS(pop_before, year_before).fit()
res_after  = sm.OLS(pop_after, year_after).fit()

print('SSR 1950-1989: ', res_before.ssr)
print('SSR 1990-2019: ', res_after.ssr)

SSR 1950-1989: 0.011741113017411783
SSR 1990-2019: 0.0013717593339608077

在 Python 中做 Chow 檢定

計算服從 F 分配的Chow 檢定統計量
- 計算分子
  - k = 2 個自由度＝2 個 OLS 係數 $\alpha$、$\beta$
- 計算分母
  - 66 個自由度＝資料點總數（70）− 2*k

numerator = (ssr_total - (ssr_before + ssr_after)) / 2

denominator = (ssr_before + ssr_after) / 66

chow_test = numerator / denominator
print("Chow test statistic: ", chow_test, "; Critical value, 99.9%: ", 7.7)

Chow test statistic: 702.8715822890057; Critical value, 99.9%: 7.7

一起來練習吧！

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