風險衡量

Python 量化風險管理

Jamsheed Shorish

CEO, Shorish Research

損失分配

  • 外匯範例：
    • 投資組合以美元計價為 USD 100
    • 風險因子 = EUR / USD 匯率
    • 若 1 EUR = 1 USD，則以歐元計價的投資組合：USD 100 x EUR 1 / USD 1 = EUR 100。
    • 若 r EUR = 1 USD，則：USD 100 x EUR r / 1 USD = EUR 100 x r
    • 損失 = EUR 100 - EUR 100 x r = EUR 100 x (1 - r)
  • 損失分配：r 的隨機實現 ⇒ 未來投資組合損失的分配

外匯損失的直方圖

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最大損失

  • 投資組合的最大損失是什麼？
  • 無法以 100% 的確定性界定損失上限
  • 信賴水準：以上限發生的「機率」取代 100% 的確定性
  • 可表達：「有 95% 機會時的最大可能損失是？」這類問題
    • 這裡的信賴水準是 95%。
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在險價值（VaR）

  • VaR：在特定信賴水準下衡量「投資組合最大損失」的統計量
  • 常見信賴水準：95%、99%、99.5%（通常以小數表示）
  • 外匯範例：若有 95% 的時間 EUR/USD 匯率「至少」為 0.40，則：
    • 投資組合價值「至少」為 USD 100 x 0.40 EUR / USD = EUR 40，
    • 投資組合損失「至多」為 EUR 40 - EUR 100 = EUR 60，
    • 因此 95% 的 VaR 為 EUR 60。

EUR/USD 匯率時間序列與 0.40 閾值

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條件在險價值（CVaR）

  • CVaR：在最小損失等於 VaR 的條件下，衡量「期望損失」
  • 等於損失分配「尾端」的期望值：
    • $$\textnormal{CVaR}(\alpha) := \frac{1}{1-\alpha}\mathbb{E} \int_{\textnormal{VaR}(\alpha)}^{\bar{x}} x f(x) dx,$$
    • $f(\cdot)$ = 損失分配的機率密度函數（pdf）
    • $\bar{x}$ = 損失的上界（可為無限）
    • $\textnormal{VaR}(\alpha)$ = 信賴水準 $\alpha$ 下的 VaR。
  • 外匯範例：
    • 95% CVaR = 在 5% 情況下，投資組合價值「低於」EUR 40 時的期望損失

顯示 VaR 與 CVaR 尾端關係的損失分配圖

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推導 VaR

  1. 指定信賴水準，如 95%（0.95）
  2. 建立 loss 觀測的 Series
  3. 於指定信賴水準計算 loss.quantile()

  4. VaR = 目標信賴水準下計算得到的 .quantile()

  5. scipy.stats 的損失分配也可用百分點函式 .ppf()

loss = pd.Series(observations)

VaR_95 = loss.quantile(0.95)
print("VaR_95 = ", VaR_95)

Var_95 = 1.6192834157254088
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推導 CVaR

  1. 指定信賴水準，如 95%（0.95）
  2. 建立或使用來自損失分配的樣本
  3. 在指定信賴水準（如 0.95）計算 VaR
  4. 將 CVaR 視為期望損失計算（常態分配可用 scipy.stats.norm.expect()）
losses = pd.Series(scipy.stats.norm.rvs(size=1000))

VaR_95 = scipy.stats.norm.ppf(0.95)

CVaR_95 = (1/(1 - 0.95))*scipy.stats.norm.expect(lambda x: x, lb = VaR_95)

print("CVaR_95 = ", CVaR_95)

CVaR_95 = 2.153595332530393
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視覺化 VaR

  • 由 N(1,3) 抽樣 1000 次的損失分配直方圖

常態分配損失的直方圖

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視覺化 VaR

  • 由 N(1,3) 抽樣 1000 次的損失分配直方圖
    • VaR$_{95}$ = 5.72，即 95% 信賴水準下的 VaR

含 95% VaR 的損失直方圖

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視覺化 VaR

  • 由 N(1,3) 抽樣 1000 次的損失分配直方圖
    • VaR$_{95}$ = 5.72，即 95% 信賴水準下的 VaR
    • VaR$_{99}$ = 7.81，即 99% 信賴水準下的 VaR

含 95% 與 99% VaR 的損失直方圖

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視覺化 VaR

  • 由 N(1,3) 抽樣 1000 次的損失分配直方圖
    • VaR$_{95}$ = 5.72，即 95% 信賴水準下的 VaR
    • VaR$_{99}$ = 7.81，即 99% 信賴水準下的 VaR
    • VaR$_{99.5}$ = 8.78，即 99.5% 信賴水準下的 VaR
  • 隨著信賴水準「提高」，VaR 會「增加」

含 95%、99% 與 99.5% VaR 的損失直方圖

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一起來練習吧！

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