特徵值／特徵向量定義

R 的資料科學線性代數

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

定義

對於矩陣 $A$，若純量 $\lambda$ 是 $A$ 的特徵值，且存在對應特徵向量 $\vec{v} \neq \vec{0}$ 使下式成立： $$A\vec{v} = \lambda \vec{v}.$$

換句話說：

矩陣向量乘法 $A\vec{v}$ 與純量乘法 $\lambda \vec{v}$ 會得到同一個向量。

這個矩陣_不必_像上一講中的那些矩陣。

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    2    3
[2,]    0    1

注意 $\lambda = 2$ 是 $A$ 的特徵值，其特徵向量為 $\vec{v} = (1, 0)^T$：

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

注意 $\lambda = 2$ 是 $A$ 的特徵值，其特徵向量可為 $\vec{v} = (1, 0)^T$，也可為 $\vec{v} = (4, 0)^T$：

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

A%*%c(4,0)

     [,1]
[1,]    8
[2,]    0

2*c(4, 0)

8 0

R 的資料科學線性代數