解矩陣-向量方程

R 的資料科學線性代數

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

使用 $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ 解 $A\vec{x} = \vec{b}$：

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

將解 $\vec{x}$ 代回檢查：

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

這與給定的 $\vec{b}$ 相同：

print(b)

1 -2

唯一解的額外條件

因此，齊次方程 $A\vec{x} = \vec{0}$ 的唯一解是平凡解 $\vec{x} = \vec{0}$。

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

若 $A$ 是 $n\times n$ 方陣，則下列條件彼此等價，且都推出 $$A\vec{x} = \vec{b}$$ 有唯一解：

R 的資料科學線性代數