含趨勢的指數平滑法

R 的時間序列預測

Rob J. Hyndman

Professor of Statistics at Monash University

Holt 線性趨勢

	簡單指數平滑
預測	$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t$
水準	$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)\ell_{t-1}$

	Holt 線性趨勢
預測	$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t + hb_t$
水準	$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)(\ell_{t-1} + b_{t-1})$
趨勢	$b_t = \beta^(\ell_t = \ell_{t-1}) + (1 - \beta^) b_{t-1}$

Holt 線性趨勢

	Holt 線性趨勢
預測	$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t + hb_t$
水準	$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)(\ell_{t-1} + b_{t-1})$
趨勢	$b_t = \beta^(\ell_t = \ell_{t-1}) + (1 - \beta^) b_{t-1}$

兩個平滑參數 $\alpha$ 與 $\beta^*$，其中 $0 \leq \alpha$ 且 $\beta^* \leq 1$
選擇 $\alpha, \beta^*, \ell_0, b_0$ 以最小化 SSE

R 中的 Holt 方法

airpassengers %>% holt(h = 5) %>% autoplot

Holt 方法範例圖

抑制趨勢法（Damped trend）

元件形式
$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t + (\phi + \phi^2 + ... + \phi^h)b_t$
$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)(\ell_{t-1} + \phi b_{t-1})$
$b_t = \beta^(\ell_t = \ell_{t-1}) + (1 - \beta^) \phi b_{t-1}$

抑制參數 $\ 0 < \phi < 1$
若 $\ \phi = 1$，等同 Holt 線性趨勢
短期預測呈趨勢，長期預測趨於常數

範例：航空旅客

fc1 <- holt(airpassengers, h = 15, PI = FALSE)
fc2 <- holt(airpassengers, damped = TRUE, h = 15, PI = FALSE)
autoplot(airpassengers) + xlab("Year") + ylab("millions") +
  autolayer(fc1, series="Linear trend") +
  autolayer(fc2, series="Damped trend")

範例：航空旅客

一起來練習吧！

R 的時間序列預測