終身、定期與遞延年金

以 R 估值人壽保險商品

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

一系列給付

如果呢？
- 給付為 $c_k$ 歐元，而非 1 歐元？
- 不只一筆，而是一連串純滿期保險？

一般設定

針對 $(x)$ 的終身年金，其給付向量為

$$ (c_0,c_1, \ldots, c_k, \ldots) $$
純滿期保險序列：
- 各期的期望現值（EPV）為 $c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x$
- 合計：

$$ \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x $$

$\quad \, \quad \,$ 即 EPV。

在 R 中處理年金

benefits <- c(500, 400, 300, rep(200, 5))
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (0:7)
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(71 + 1)]))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

1945.545

終身年金（應付）

終身「應付」年金：於第 $(k+1)$ 年「期初」支付 $c_k$。

終身年金（即付）

終身「即付」年金：於第 $(k+1)$ 年「期末」支付 $c_k$。

R 中的終身年金

以固定利率 $i = 3\%$ 計算 $\ddot{a}_{35}$（應付）

# whole-life annuity due of (35)
kpx <- 
  c(1, cumprod(px[(35 + 1):length(px)]))
discount_factors <- 
  (1 + 0.03) ^ - (0:(length(kpx) - 1))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

24.44234

以及 $a_{35}$（即付）

# whole-life immediate annuity of (35)
kpx <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
discount_factors <- 
   (1 + 0.03) ^ - (1:length(kpx))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

23.44234

定期年金（應付）

「定期」應付年金：最長 $n$ 年，自時間 $0$ 至 $n-1$。

遞延終身年金（應付）

「遞延」終身應付年金：前 $u$ 年不支付。

一起來練習吧！

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