隨機未來壽命

以 R 估值人壽保險商品

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

隨機未來壽命

$(x)$ 表示此刻年齡為 $x$ 的個體，且 $x \geq 0$。
隨機變數 $T_x$ 是 $(x)$ 的未來壽命。
因此，$(x)$ 的死亡年齡為 $x + T_x$。

R 中的生命表

Human Mortality Database（HMD，www.mortality.org）。
life_table 包含 2013 年比利時男性的期間生命表。

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

死亡率與存活機率

一年內死亡的機率

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$ 是年齡 $x$ 的死亡率。
一年內存活的機率

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
因此，$p_x = 1 - q_x$。

R 中比利時運動員的死亡率

Eden Hazard 是比利時足球員，效力 Chelsea，年齡 27 歲。

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckx 是比利時自行車手，曾 5 度贏得環法，現年 72 歲。

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

在 R 中描繪比利時死亡率 $q_x$

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

平均壽命（生命期望）

（完整）$(x)$ 的期望未來壽命為 $E[T_x]$。
27 歲的 Eden Hazard：

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

72 歲的 Eddy Merckx：

ex[72 + 1]

12.67

在 R 中描繪平均壽命

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

一起來練習吧！

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