機率計算

以 R 估值人壽保險商品

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

從一年到多年存活機率

$$ _{t+u}p_x =\ _{u}p_x \cdot \ _{t}p_{x+u}. $$

$$ \begin{aligned} _kp_x &= p_x \cdot \ _{k-1}p_{x+1} \\ &= p_x \cdot p_{x+1} \cdots p_{x+k-1} \\ &= \prod_{l=0}^{k-1} p_{x+l} \end{aligned} $$

$\quad \,$ 也就是由「一年」存活機率相乘而得。

計算 $_5p_{65} = p_{65} \cdot p_{66} \cdot p_{67} \cdot p_{68} \cdot p_{69}$。

# 一年存活機率
px <- 1 - life_table$qx 
px[(65 + 1):(69 + 1)]

0.98491 0.98320 0.98295 0.98091 0.97935

# (65) 再存活 5 年的機率
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)])

0.9144015

計算 $_5p_{65} = \frac{\ell_{70}}{\ell_{65}}$。

# 另一種作法（差異來自 
                 四捨五入）
lx[70 + 1] / lx[65 + 1]

0.9143957

計算 $_kp_{65}$，其中 $k = 1, 2, 3, 4, 5$。

# 一年存活機率
px[(65 + 1):(69 + 1)]

0.98491 0.98320 0.98295 0.98091 0.97935

# (65) 的多年存活機率
cumprod(px[(65 + 1):(69 + 1)])

0.9849100 0.9683635 0.9518529 0.9336820
0.9144015

計算 $_kp_{65}$，其中 $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$。

# (65) 的多年存活機率
c(1, cumprod(px[(65 + 1):(69 + 1)]))

1.0000000 0.9849100 0.9683635 0.9518529 
0.9336820 0.9144015

$$ \begin{aligned} _{k|}q_x &= {}_kp_x \cdot q_{x+k}. \end{aligned} $$

計算 $_{5|}q_{65} = {}_5p_{65} \cdot q_{70}$。

# (65) 的 5 年遞延死亡機率 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

計算 $_{5|}q_{65} = \frac{d_{70}}{\ell_{65}}$。

# 另一種作法（差異來自四捨五入）
dx[70 + 1] / lx[65 + 1]

0.02086817

計算 $_{k|}q_{65} = {}_kp_{65} \cdot q_{65 + k}$，其中 $k = 0, 1, 2, \ldots$

# (65) 的存活機率
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(length(px) - 1)]))
head(kpx)

1.0000000 0.9849100 0.9683635 0.9518529 0.9336820 0.9144015

# (65) 的遞延死亡機率
kqx <- kpx * qx[(65 + 1):length(qx)]
head(kpx)

0.01509000 0.01654649 0.01651060 0.01817087 0.01928053 0.02086664

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