終身、定期與遞延壽險

以 R 估值人壽保險商品

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

一連串一年期合約

如果呢？
- 給付是 $b_k$ 歐元，而不是 1 歐元？
- 不是一張合約，而是一連串一年期合約？

一般設定

被保人為 $(x)$ 的壽險，死亡給付向量為

$$ (b_0,b_1, \ldots, b_k, \ldots) $$
一系列一年期合約：
- 每一張的期望現值（EPV）為 $ b_k \cdot v(k+1) \cdot {}_{k}p_x \cdot q_{x+k} $
- 合計：

$$ \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \cdot v(k+1) \cdot {}_kp_x \cdot q_{x+k} = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \cdot v(k+1) \cdot {}_{k|}q_{x}$$

$\quad \, \quad \,$ 即 EPV。

終身壽險

終身壽險：保障終身。

定期壽險

定期（或：term）壽險：最長 $n$ 年。

遞延終身壽險

遞延終身壽險：前 $u$ 年不給付。

在 R 中計算壽險

在固定利率 $i = 3\%$ 下計算 $A_{35}$。

# Whole-life insurance of (35)
kpx <- c(1, cumprod(px[(35 + 1):(length(px) - 1)]))
kqx <-  kpx * qx[(35 + 1):length(qx)]
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (1:length(kqx))
benefits <- rep(1, length(kqx))
sum(benefits * discount_factors * kqx)

0.2880872

現在計算 ${}_{20|}A_{35}$。

# Deferred whole-life insurance of (35)
kpx <- c(1, cumprod(px[(35 + 1):(length(px) - 1)]))
kqx <-  kpx * qx[(35 + 1):length(qx)]
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (1:length(kqx))
benefits <- c(rep(0, 20), rep(1, length(kqx) - 20))
sum(benefits * discount_factors * kqx)

0.2552956

一起來練習吧！

以 R 估值人壽保險商品