凸性限制最佳化

Python 最佳化入門

Jasmin Ludolf

Content Developer

凸性限制最佳化

凸函數。

限制：對變數的約束
無差異曲線：代表變數的組合
在無差異曲線上找出使目標函式最小或最大的位置

無差異曲線

一位黑髮年輕女性正在使用筆電工作

自由接案軟體工程師
重視工作（$w$）與休閒（$l$）

效用函式：

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

繪製無差異曲線

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

無差異曲線

視覺化無差異曲線

Alexia 對於 $w$ 與 $l$ 的具體組合無偏好差異

時間限制

每天 24 小時
線性等式限制

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

在圖上加入限制：
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

無差異曲線與線性限制。最適無差異曲線與限制相切。於切點處，梯度同時垂直於限制與切線。

使用 SciPy 求解

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

一起來練習吧！

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