多變數最佳化

Python 最佳化入門

Jasmin Ludolf

Content Developer

餅乾工廠

目標函式：

$F = K^{0.34} \times L^{0.66}$
- $F$：生產函數
- 勞動（$L$）：工人投入時數
- 資本（$K$）：機器運轉時數
- 多變數問題

生產線上的餅乾。

偏導數

單變數

目標函式：

$p = 40q - 0.5q^2$

導數：隨單一變數改變而改變的斜率

$\frac{dp}{dq} = 40 - q$

多變數

目標函式：

$F = K^{0.34} \times L^{0.66}$

偏導數：觀察相對各變數的斜率變化

$\frac{\partial F}{\partial K}$ 與 $\frac{\partial F}{\partial L}$

解多變數問題

目標函式：

$F = K^{0.34} \times L^{0.66}$
- $F$：生產函數
- 勞動（$L$）：工人投入時數
- 資本（$K$）：機器運轉時數

from sympy import symbols, diff, solve


K, L = symbols('K L')
F = K**.34 * L**.66


dF_dK = diff(F, K)
dF_dL = diff(F, L)

crit_points = solve([dF_dK, dF_dL], (K, L))


print(crit_points)

[]

我們的生產函數

目標函式：

$F = K^{0.34} \times L^{0.66}$

當 $K$ 與 $L$ 增加，$F$ 也增加
沒有極大或極小！

餅乾生產函數的 3D 圖。

微分的侷限

注意以下情況：

無導數
不連續
單調增或單調減

不可微：無法用微分最佳化

三個例子：微分無法找到極大或極小值的函數。

一起來練習吧！

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