機率質量與分配函數

Python 機率基礎

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

機率質量函數（pmf）

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \color{red}{\binom{n}{k}}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \binom{n}{k}\color{red}{p^k}(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \binom{n}{k}p^k\color{red}{(1-p)^{n-k}} $$

10 次擲公平硬幣的二項分配 pmf

$$ $$

$$ binomial.pmf(k, n, p) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

在 Python 中：

binom.pmf(k, n, p)

# 公平硬幣擲 10 次得到 2 次正面的機率
binom.pmf(k=2, n=10, p=0.5)

0.04394531249999999

# 公平硬幣擲 10 次得到 5 次正面的機率
binom.pmf(k=5, n=10, p=0.5)

0.24609375000000025

# 當 p=0.3 時，擲 100 次得到 50 次正面的機率
binom.pmf(k=50, n=100, p=0.3)

1.3026227131445298e-05

# 當 p=0.7 時，擲 100 次得到 65 次正面的機率
binom.pmf(k=65, n=100, p=0.7)

0.0467796823527298

$$ $$

$$ binomial.cdf(k, n, p) = \binom{n}{0}p^0(1-p)^{n} + \binom{n}{1}p(1-p)^{n-1} + ... + \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.cdf(k, n, p) = \color{red}{\binom{n}{0}p^0(1-p)^{n}} + \binom{n}{1}p(1-p)^{n-1} + ... + \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.cdf(k, n, p) = \binom{n}{0}p^0(1-p)^{n} + \color{red}{\binom{n}{1}p(1-p)^{n-1}} + ... + \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

$$ $$

$$ binomial.cdf(k, n, p) = \binom{n}{0}p^0(1-p)^{n} + \binom{n}{1}p(1-p)^{n-1} + ... + \color{red}{\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}} $$

$$ $$ 10 次擲公平硬幣的二項分配 pmf

$$ $$ 常態分配的累積分配函數

$$ $$ $$ binomial.cdf(k, n, p) = \binom{n}{0}p^0(1-p)^{n} + \binom{n}{1}p(1-p)^{n-1} + ... + \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

在 Python 中：

binom.cdf(k=1, n=3, p=0.5)

# 公平硬幣擲 10 次得到 ≤ 5 次正面的機率
binom.cdf(k=5, n=10, p=0.5)

0.6230468749999999

# 當 p=0.3 時，擲 100 次得到 ≤ 50 次正面的機率
binom.cdf(k=50, n=100, p=0.3)

0.9999909653138043

# 當 p=0.7 時，擲 100 次得到 > 59 次正面的機率
1-binom.cdf(k=59, n=100, p=0.7)

0.9875015928335618

# 當 p=0.7 時，擲 100 次得到 > 59 次正面的機率
binom.sf(k=59, n=100, p=0.7)

0.9875015928335618

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