Python 機率基礎
Alexander A. Ramírez M.
CEO @ Synergy Vision
期望值：依機率加權的所有可能結果之和。
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$
離散隨機變數的期望值，是依機率加權的所有可能結果之和。
在擲硬幣的例子中：
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = \color{red}{0\times (1-p)} + 1\times p = p $$
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = 0\times (1-p) + \color{red}{1\times p} = p $$
每個 $x_i$ 是一次實驗的結果（例如擲硬幣，為 0 或 1）。
$$ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n) $$
在 Python 中，我們會用 scipy.stats.describe() 取得算術平均數。
scipy.stats.describe()
from scipy.stats import describe describe([0,1]).mean
0.5
變異數用來衡量離散程度。
它是對期望值之偏差平方的期望值。
$$ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n}p_i \times (x_i-E(X))^2 $$
在 Python 中，我們會用 scipy.stats.describe() 取得樣本變異數。
describe([0,1]).variance
若 $X\sim Binomial(n, p)$
$$ E(X) = n \times p $$
$$ Var(X) = n \times p \times (1-p) $$
例：$n=10$、$p=0.5$
在 Python 中，我們會用 binom.stats() 取得期望值與變異數。
binom.stats()
binom.stats(n=10, p=0.5)
(array(5.), array(2.5))
一個公平擲硬幣的期望值與變異數是什麼？
binom.stats(n=1, p=0.5)
(array(0.5), array(0.25))
若是偏向的硬幣，成功機率 30%，期望值與變異數是什麼？
binom.stats(n=1, p=0.3)
(array(0.3), array(0.21))
10 次公平擲硬幣的期望值與變異數是什麼？
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