什麼是 ARCH 與 GARCH

Python 中的 GARCH 模型

Chelsea Yang

Data Science Instructor

首先是 ARCH

  • Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity（自我迴歸條件異質變異）

  • 由 Robert F. Engle 提出（2003 年諾貝爾獎得主）

Photo of Robert F. Engle

Python 中的 GARCH 模型

接著是 GARCH

  • 「廣義」ARCH

  • 由 Tim Bollerslev（Engle 的學生）提出

Photo of Tim Bollerslev

Python 中的 GARCH 模型

相關統計術語

白噪音（z）： 零均值、有限變異數且彼此不相關的隨機變數

White noise plot

殘差 = 預測值 - 觀測值

Python 中的 GARCH 模型

模型記號

預期報酬： $$ \mu_t = Expected[r_t | I(t-1)] $$

 

殘差（預測誤差）： $$ r_t = \mu_t + \epsilon_t $$

預期波動度： $$\sigma^2 = Expected[(r_t - \mu_t)^2 | I(t-1)]$$

 

波動度與殘差的關係： $$ \epsilon_t = \sigma_t * \zeta (WhiteNoise)$$

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模型方程式：ARCH

ARCH model equations

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模型方程式：GARCH

GARCH model equations

Python 中的 GARCH 模型

模型直覺

  • 自我迴歸：用過去行為預測未來行為

  • 將波動度視為過去資訊的加權平均

Model intuition

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GARCH(1,1) 參數限制

為使 GARCH(1,1) 更貼近現實，需要：

  • 所有參數皆非負，使變異數不為負。

$$\omega, \alpha, \beta >= 0 $$

  • 模型估計「均值回歸」至長期變異數。

$$\alpha + \beta <1$$

長期變異數：$$\omega / (1-\alpha - \beta)$$

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GARCH(1,1) 參數動態

  • $\alpha$ 越大，衝擊的即時影響越強
  • $\beta$ 越大，影響持續時間越長
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一起來練習吧！

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