Student t 分配

R 的量化風險管理

Alexander McNeil

Professor, University of York

Student t 分配

$$f_X(x) = \frac{\Gamma({\frac{\nu+1}{2}})}{\sigma \sqrt{\nu\pi} \, \Gamma(\frac{\nu}{2})}{\left(1 + \frac{({x- \mu})^2} {\nu \sigma ^ 2}\right)}^{-\frac{\nu + 1}{2}} $$

此分配有三個參數：$\mu, \sigma, \nu$
較小的 $\nu$ 會帶來更重的尾部
當 $\nu$ 增大時，分配趨近常態

擬合 Student t 分配

極大似然（ML）法
QRM 套件中的 fit.st()
2008-09 的 FTSE 對數報酬，$\nu$ 較小（2.95）

library(QRM)

tfit <- fit.st(ftse)
tpars <- tfit$par.ests
tpars

          nu             mu          sigma
2.949514e+00   4.429863e-05   1.216422e-02

nu <- tpars[1]
mu <- tpars[2]
sigma <- tpars[3]

視覺化擬合的 Student t 分配

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)
lines(ftse, dnrom(ftse, mean = mean(ftse), sd = sd(ftse)), col = "red")

yvals <- dt((ftse - mu)/sigma, df = nu)/sigma
lines(ftse, yvals, col = "blue")

一起來練習吧！

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