多變量 t 分配

R 的多變量機率分配

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

多變量分配的參數

分配	位置參數	尺度參數
常態	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
偏斜常態	`xi`	`Omega`
偏斜 t	`xi`	`Omega`

多變量分配的參數

分配	位置參數	尺度參數	自由度
常態	`mean`	`sigma`	無
t	`delta`	`sigma`	有
偏斜常態	`xi`	`Omega`	無
偏斜 t	`xi`	`Omega`	有

單變量常態 vs 單變量 t 分配

比較

標準常態
不同 df 的 t

常態與 t 分配尾部比較

同一臨界值下尾部更肥厚

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

分配	機率
常態	0.05
t(df=1)	0.3
t(df=8)	0.0857
t(df=20)	0.0641
t(df=30)	0.0593

多變量 t 分配記號

單變量 Student t 分配的推廣
- 常用版本在所有維度共用一個自由度，記為

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

二變量常態與 t 的等高線

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

df = 3 的 t 等高線

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

二變量常態的等高線

多變量 t 分配的函式

可用函式：
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

產生隨機樣本

從 3 維 t 分配產生樣本，其中 $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

與常態樣本比較

自由度為 4 的 t 分配

常態分配

與常態樣本比較

自由度為 10 的 t 分配

常態分配

來從多變量 t 分配產生樣本吧！

R 的多變量機率分配