累積分布與反向 CDF

R 的多變量機率分配

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

何時需要計算 CDF 與反向 CDF？

常態密度，$\mu=210$、$\sigma=10$

曲線下 $x < 200$ 的面積

pnorm(200, mean = 210, sd = 10)

[1] 0.159

$x_0$ 為何值時，其累積機率為 0.95？


qnorm( p = 0.95, mean = 210, sd = 10)


[1] 226.45

$\Rightarrow$ 有 95% 的咖啡罐重量小於 226.45 公克

二變量常態在 x = 2、y = 4 的 CDF，${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & .5 \\ .5 & 2 \end{pmatrix}}$

二變量常態在 x = 2、y = 4 的 CDF，${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

mu1 <- c(1, 2)
sigma1 <- matrix(c(1, 0.5, 0.5, 2), 2)

pmvnorm(upper = c(2, 4), mean = mu1, sigma = sigma1)

[1] 0.79
attr(,"error")
[1] 1e-15
attr(,"msg")
[1] "Normal Completion"

機率：$ 1 < x < 2$ 且 $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

機率：$ 1 < x < 2$ 且 $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

[1] 0.163

深紅橢圓為 0.95 分位數

qmvnorm

sigma1 <- diag(2)
sigma1

     [,1] [,2]
[1,]    1    0
[2,]    0    1

qmvnorm(p = 0.95, sigma = sigma1, tail = "both")

$quantile
[1] 2.24
$f.quantile
[1] -1.31e-06
attr(,"message")
[1] "Normal Completion"

半徑 2.24 的紅色圓圈涵蓋 0.95 的機率

R 的多變量機率分配