多變量偏斜分配

R 的多變量機率分配

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

偏斜多變量分配：散佈圖

流式細胞術資料——側向散射（SSC）與前向散射（FSC）

偏斜多變量分配：等高線圖

流式細胞術資料——側向散射（SSC）與前向散射（FSC）

單變量偏斜常態分配

一般偏斜常態記作 $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ 與 $\omega$ 分別為位置與尺度參數

最簡形式：$z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ 為偏度參數

單變量偏斜常態的範圍

比較 $SN(\alpha)$ 與標準常態

若 $\alpha>0$，右偏
若 $\alpha<0$，左偏
$SN(0)$ 等同標準常態

多變量偏斜常態分配

記號：三維多變量偏斜常態分配

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ 位置參數（長度為 3 的向量）
$\Omega$ 變異-共變異參數（$3 \times 3$ 矩陣）
$\alpha$ 偏度參數（長度為 3 的向量）

雙變量偏斜常態分配等高線圖

雙變量偏斜常態

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$。

偏斜常態的函式

來自 sn 函式庫：

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- 需指定 xi、Omega、alpha

偏斜 t 分配的函式

來自 sn 函式庫：

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- 需指定 xi、Omega、alpha、nu（自由度）

產生偏斜常態樣本

從三維偏斜常態產生 2000 個樣本

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# 指定 xi、Omega 與 alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# 產生樣本
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

偏斜常態分配的樣本

產生偏斜 t 樣本

從三維偏斜 t 分配產生 2000 個樣本，參數為：

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# 產生樣本
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

由資料估計參數

估計偏斜常態分配參數需要迭代演算法
- 沒有可直接計算參數的顯式公式
sn 套件提供多個函式，包括 msn.mle()

由資料估計參數

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

樣本是用以下參數產生：

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

一起來練習吧！

R 的多變量機率分配