不吃苦，難有收穫

R 的 GARCH 模型

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

GARCH-in-mean 模型

量化風險與報酬的權衡。
風險：$\sigma^2_t$。報酬：$\mu_t$。
GARCH-in-mean 模型：

$$ \mu_{t} = \mu + \lambda \sigma^2_{t} $$

$\lambda > 0$ 為風險／報酬參數，表示每單位變異數風險帶來的期望報酬增量。

怎麼做？

把 ugarchspec() 的 mean.model 參數，從 list(armaOrder = c(0, 0)) 改為 list(armaOrder = c(0, 0), archm = TRUE, archpow = 2)：

garchspec <- ugarchspec(
              mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)),
              variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
              distribution.model = "sstd")

garchspec <- ugarchspec(
               mean.model = list(armaOrder = c(0, 0), archm = TRUE, archpow = 2),
               variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
               distribution.model = "sstd")

應用於 S&P 500 每日報酬

估計

garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

檢視平均式的估計係數

round(coef(garchfit)[1:2], 4)

    mu  archm 
0.0002 1.9950

預測的平均報酬

$$ \hat{\mu}_{t} = 0.0002 + 1.9950 \hat{\sigma}^2_{t} $$

預測報酬的時間序列圖

在 R 中繪圖
```
plot(fitted(garchfit))
```

今日報酬可預測明日報酬

GARCH-in-mean 以風險—報酬權衡的金融理論建立條件平均模型。
現在改用統計理論，建立能利用今日報酬與明日報酬相關性的平均模型。
最常見的是 AR(1) 模型：
- AR(1) 指的是 1 階自我迴歸模型。
- 以報酬相對長期平均 $\mu$ 的偏離來預測下一期報酬：

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

正的自我迴歸係數

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

$\rho > 0$：
- 高於（或低於）平均的報酬之後，常接著出現高於（或低於）平均的報酬。
- 可能原因：市場對消息反應不足，因此報酬有動能。
$|\rho|<1$：平均迴歸。$R_t$ 相對 $\mu$ 的偏離是暫時的。

負的自我迴歸係數

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

$\rho < 0$：
- 高於（或低於）平均的報酬之後，常接著出現低於（或高於）平均的報酬。
- 可能原因：市場對消息反應過度，因此報酬出現反轉。

應用於 S&P 500 每日報酬

以 sst 分配的 AR(1)-GJR GARCH 之設定與估計

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")
garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

AR(1) 模型估計值

round(coef(garchfit)[1:2], 4)

     mu     ar1     
 0.0003 -0.0292

MA(1) 與 ARMA(1,1) 模型

1 階移動平均（MA(1)）模型使用報酬相對其條件平均的偏離：

$$ \mu_{t} = \mu + \theta(R_{t-1} - \mu_{t-1}) $$

ARMA(1,1) 結合 AR(1) 與 MA(1)：

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) + \theta(R_{t-1} - \mu_{t-1}) $$

怎麼做？

MA(1)

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(0, 1)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")

ARMA(1, 1)

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(1, 1)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")

Your turn to change the mean.model argument

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